Няма нужда да пренаписваш целия сайт. Отваряш http://php.net/manual/en/appendices.php и се запознаваш с промените между сегашната ти версия и тази към която ще мигрираш. Вдигаш си втори сървър със 7/7.1. В php.ini, .htaccess или в кода си настройваш error_reporting = E_ALL, display_errors = on, display_startup_errors = on и започваш ръчна проверка. Може да използваш нещо от рода на https://www.phpclasses.org/package/9084 за да намериш бързо дали и къде се ползват deprecated функции.
После изчистваш грешка по грешка.
Относно основателната причина - 5.6 вече достигна края на активната поддръжка и освен ако не ползва RHEL, до края на 2018 иска не иска пак ще трябва да мигрира, защото спират и секюрити фиксовете
